RELASI PENGURUTAN PARSIAL DAN KESETARAAN

RELASI PENGURUTAN PARSIAL

    Secara intuitif, di dalam relasi pengurutan parsial, istilah pengurutan berarti dua buah benda saling berhubungan jika salah satunya lebih kecil (lebih besar), daripada, atau lebih rendah (lebih tinggi) daripada lainnya menurut sifat atau kriteria tertentu. Istilah pengurutan itu sendiri memang menyatakan bahwa benda-benda di dalam himpunan tersebut diurutkan berdasarkan sifat atau criteria tersebut. Akan tetapi, ada juga kemungkinan dua buah benda di dalam himpunan tidak berhubungan dalam suatu relasi pengurutan parsial. Dalam hal demikian, kita tidak dapat mmbandingkan keduanya sehingga tidak dapat diidentifikasi mana yang lebih besar atau lebih kecil. Oleh karena itulah digunakan istilah pengurutan parsial atau pengurutan tidak-lengkap. Secara formal didefinisikan sebagai berikut.

Definisi

Jika R relasi pada A dan R memenuhi sifat :

1. Reflektif, yaitu  berlaku 
   
2. Antisimetri, yaitu ,  dan  berakibat 
   
3. Transitif, yaitu ,  dan  berakibat 
   

Maka relasi R pada A tersebut mendefinisikan suatu urutan parsial (partial order).

Contoh :

Periksa apakah relasi “x habis membagi y” pada himpunan A = {1, 2, 3, 4, 6} merupakan Relasi Parsial.

Penyelesaian :

Sebelumnya kita harus mendaftarkan terlebih dahulu anggota R yang memenuhi relasi diatas. R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4), (6, 6)}. Setelah itu kita harus selidiki apakah ketiga sifat pada Definisi diatas ada pada relasi R ini.

1. Reflektif
   (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), dan (6, 6)  R untuk setiap elemen di A.
   Berdasarkan definisi Transitif, maka R bersifat transitif
2. Antisimetri
   Berdasarkan Definisi maka berlaku (a, b)  R dan (b, a)  R berakibat a = b untuk setiap a, b  A. Dan untuk a  b berlaku (a, b)  R tetapi (b, a) bukan elemen R
3. Transitif
   Jelas bersifat transitif, silahkan dicek sendiri.
   Kesimpulannya jadi himpunan A  merupakan relasi persial karena memenuhi ke-3 sifat.
   
   
   RELASI EKUIVALEN / KESETARAAN
       Relasi ekuivalen merupakan suatu hubungan antara himpunan dimana himpunan tersebut mempunyai relasi,dan memenuhi sifat sebagai berikut :
   Jika a,b dan c anggota himpunan tersebut berlaku :
   
   
   1. sifat rekleksif
   a~ a ,artinya jika a berelasi dengan dirinya sendiri
   
   
   2. sifat simetri
   a ~ b maka b~a , artinya jika a berelasi dengan b maka b juga berelasi
   dengan a
   
   
   3. sifat transitif
   a ~b dan b~ c maka a ~ c , artinya jika a berelasi dengn b dan b berekasi
   dengan c maka a juga berelasi dengan c
   
   
   untuk lebih fahamnya lagi tentang apa itu relasi ekuivalen dibawah ini ada satu contoh sekaligus penyelesaiannya tentang relasi ekuivalen.
   
   
   Contoh soal :
   
   Misalkan A adalah himpinan yang anggotanya anto,andi,yudi,ani,mila, dan yanti.diamana anto andi dan yudi berjenis kelamin laki-laki,dan ani,mila sama yanti berjanis kelamin perempuan.Apakah himpunan A merupakan relasi ekuivalen ?
   
   
   Penyelaesaianya :
   
   Untuk membuktikan himpunan A merupakan relasi ekuivalen harus memenihi ke-3 sifat yaitu refleksif,simetri dan transitif
   
   
   1. sifat refleksif
   anto ~ anto , berelasi dengan dirinya sendiri karena jenis kelaminnya laki-laki
   
   
   2. sifat simetri
   anto ~ andi
   
   
   andi ~ anto , anto berelasi dengan andi dan andi berelasi dengan anto karena jenis kelaminnya sama.
   
   
   3. sifat transitif
   mila ~ ani
   ani ~ yanti
   
   
   mila ~ yanti ,mila berelasi dengan ani dan ani berelasi dengan yanti maka
   otomatis mila berelasi dengan yanti karena jenis kelaminnya
   sama. Kesimpulannya jadi himpunan A  merupakan relasi ekuivalen karena memenuhi ke-3 sifat dan sudah mempunyai relasi yaitu jenis kelamin yang sama.
   
   
   SEMOGA BERMANFAAT. TERIMAKASIH.